Wiedza jest super: Wyprowadzenie wzoru na dylatację czasu cz 1

wtorek, 29 marca 2016

Wyprowadzenie wzoru na dylatację czasu cz 1

Dotyczy wzoru:

Założenia:

Jedynym założeniem jakie – zgodnie z teorią względności – przyjmujemy, jest niezmienność prędkości światła, mówiąc inaczej: że każdy obserwator, bez względu na to, co by ze sobą nie robił (spoczywał czy poruszał się), zawsze zmierzy tę samą wartość prędkości światła. Jest to złożenie sprzeczne z klasyczną fizyką (dodawanie i odejmowanie prędkości), ale jak pokazały doświadczalne pomiary, rzeczywiście tak jest.

Zanim przystąpimy do wyprowadzenia wzoru opisującego dylatację czasu, zdefiniujmy dwa układy: jeden poruszający się a drugi spoczywający. W obu układach obserwatorzy będą rejestrować to samo zdarzenie polegające na wysłaniu promienia światła prostopadle do kierunku ruchu. Promień ten zostaje wysłany z nadajnika N, odbija się od lustra umieszczonego na suficie i wraca z powrotem do nadajnika.

Układ poruszający się

W układzie poruszającym się obserwator zarejestruje zdarzenie przedstawione na poniższej grafice:

Wyznaczając czas potrzebny światłu na powrót do nadajnika, korzystamy z klasycznego wzoru wiążącego czas z drogą i prędkością:

W tym przypadku ustalamy następujące oznaczenia:

t' – czas w układzie poruszającym,

2L – droga, jaką przebywa światło. Jest ona podwojona, ponieważ światło zmierzając do sufitu i potem, odbiwszy się od niego, wracając, pokonuje dwa razy tę samą drogę,

c – prędkość poruszania się światła.

Korzystając z powyższych oznaczeń, obserwator w układzie poruszającym się przedstawi następujący wzór opisujący czas potrzebny światłu na pokonanie określonej przez nas drogi:

Układ spoczywający

Z uwagi na poruszanie się poprzedniego układu, obserwator znajdujący się w układzie spoczywającym zaobserwuje zupełnie inne zjawisko opisane w poniższej grafice:

Względem układu spoczywającego, układ poruszający się pokona pewną drogę, tak samo, jak promień światła, który dla obserwatora spoczywającego nie poleci prostopadle do góry, tylko po skosie, ponieważ zanim dotrze on do sufitu (i później – nim wróci), cały układ przesunie się nieco na tle układu nieruchomego.

Dla obserwatora znajdującego się w układzie spoczywającym promień światła wysłany w układzie poruszającym się wykona drogę wzdłuż ramion trójkąta (h). W związku z powyższym czas potrzebny światłu na pokonanie tej drogi opisze on następująco:

gdzie:

t – czas w układzie nieruchomym,

h – droga przebyta przez światło w jedną stronę (stąd mamy we wzorze 2h),

c – prędkość światła.

Wyprowadzenie wzoru na dylatację czasu (sposób klasyczny)

Rozważając to samo zdarzenie (wysłanie promienia światła), widzimy, że obserwator spoczywający zmierzył inną drogę niż obserwator poruszający się. Ten drugi zmierzył ją w swoim układzie (np. względem ścian rakiety), podczas gdy drugi mierzył ją względem swojego, nieruchomego układu (np. Ziemi). Możemy ją opisać klasycznym wzorem d=Vt, gdzie:

d – droga przebyta przez poruszający się układ,

V – prędkość poruszania się tego układu,

t – czas, w jakim układ przebył tę drogę.

Biorąc za punkt wyjścia grafikę opisującą układ spoczywający i korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy obliczyć drogę h, jaką promień światła pokona: