Wiedza jest super: Wyprowadzenie wzoru wiążącego energię z pędem cz 1

piątek, 8 kwietnia 2016

Wyprowadzenie wzoru wiążącego energię z pędem cz 1

Dotyczy wzorów:

i E = pc

Wstęp

Z założeń teorii względności wiemy, że żadne poruszające się ciało obdarzone masą nie tylko nie może przekroczyć prędkości światła, która wg niej jest największą możliwą prędkością w przyrodzie, ale nawet jej osiągnąć. Jedynie foton – nośnik światła – pozbawiony masy spoczynkowej, może poruszać się z taką prędkością. Tutaj dochodzimy jednak do matematycznego paradoksu, który nie ma fizycznej racji bytu.

Przyjrzyjmy się przedstawionemu poniżej wzorowi teorii względności opisującego energię całkowitą cząstki:

gdzie:

m₀ – masa spoczynkowa cząstki,

V – prędkość poruszania się cząstki,

c – prędkość światła.

Analizując ten wzór dla przypadku fotonu, czyli cząstki, która nie posiada masy spoczynkowej (m₀ = 0) widzimy od razu, że wzór ten nie opisuje w sposób prawidłowy fotonu, ponieważ skoro masa równa jest zeru, to i energia powinna być także równa zeru. W teorii względności interpretuje się to spostrzeżenie, że foton, aby istnieć, musi się stale poruszać – nie może się zatrzymać.

Możemy się z tą interpretacją nie zgadzać, przywołując jako dowód fakt, że Przyroda jest w pełni matematyczna (daje się opisać za pomocą matematyki), a skoro tak, to powyższy wzór musi być prawdziwy – może jednak foton posiada choćby minimalną masę spoczynkową? Nie będziemy się w tym miejscu nad tym zatrzymywać, tylko od razu wskażemy kolejny problem, jaki ten wzór generuje.

Załóżmy na chwilę, że foton posiada jednak masę spoczynkową. Analizując przedstawiony wzór dalej, napotykamy na jeszcze większy problem: skoro foton (światło) porusza się z prędkością światła (V=c), to cały wzór, z matematycznego punktu widzenia, staje się niemożliwy do zrealizowania, ponieważ w mianowniku wychodzi nam zero! Oznaczałoby to jednak, że światło nie mogłoby się poruszać z prędkością światła, co jest sprzeczne przecież z obserwacją.

Zostawiając oba problemy nie rozstrzygnięte, mając ufność w wielkość matematyki, poszukajmy sposobu na opisanie fotonu zgodnego z założeniami teorii względności.

Wprowadzenie

Jako że Przyroda poddaje się opisowi matematyki, a wielkości fizyczne (np. masa, energia) są dla niej tylko literkami określającymi niewiadome (wg powyższego przykładu: m, E), możemy poszukać takiego wzoru na energię, który rozwiąże wszelkie nasze dotychczasowe problemy.

W fizyce matematycznej często stosuje się metodę porównywania ze sobą różnych wyrażeń i patrzenia czy coś sensownego (przydatnego) z tego wychodzi. W tym podrozdziale zastosujemy właśnie taką metodę. Na swój matematyczny warsztat weźmiemy zatem dwa wyrażenia związane z ruchem, które będziemy mogli porównać. Oto one:

Aby porównać oba wzory ze sobą, musimy je tak przekształcić, aby opisywały tę samą właściwość. Każdy będzie opisywał to samo, tylko za pomocą innych elementów. Po kilku próbach wybór pada na prędkość V. Przekształćmy zatem oba wzory za względu na prędkość.

Przekształcenie wzoru na energię

Aby wydobyć prędkość V z pierwiastka, musimy obie strony podnieść do kwadratu. Otrzymujemy więc:

Teraz pozbywamy się ułamka, mnożąc obie strony przez wyrażenie zawarte w mianowniku:

Po wymnożeniu otrzymujemy:

Ponownie pozbywamy się ułamka, mnożąc obie strony przez c²:

Pierwszy człon lewej strony przenosimy na prawą (oczywiście ze znakiem przeciwnym), aby pozostawić wyrażenie zawierające tylko prędkość:

Aby wyrażenie to oczyścić z innych zmiennych, niebędących prędkością, dzielimy obie strony przez E (moglibyśmy podzielić od razu przez „– E”, ale dla przejrzystości wyprowadzenia rozbijemy to zadanie na dwie części):

Teraz nie pozostaje nic innego jak obie strony pomnożyć przez (– 1), aby otrzymać czyste V:

Dla matematycznej estetyki zamieńmy miejscami oba wyrażenia występujące w liczniku prawej strony:

Ten wzór na prędkość wykorzystamy za chwilę do wyprowadzenia naszego właściwego (tytułowego) wzoru. Zauważmy, że powyższy wzór zachowaliśmy w formie kwadratowej (V²). Możemy tak pozostawić, ponieważ szybka analiza drugiego wzoru pokazuje, iż w tej formie możemy uzyskać także i drugie przekształcenie.

Strona 1/5 Dalej >